UNIVERSIDAD MESOAMERICANA
FACULTAD DE INGENIERIA
NGENIERIA EN ELECTRONICA
SEXTO SEMESTE
MATEMATICA VI
ING. WATLER QUIJIVIX
VARIABLE COMPLEJA
RONAL ESTUARDO CALVAC
OROXÓM
201007002
QUETZALTENANGO 05/10/13
INDICE
Introducción
---------------------------------------------------- pag. 3
Historia
----------------------------------------------------- pag. 4
Primero Aportes ---------------------------------------------- pag. 5
Teoría
Moderna y Sus Fundadores ------------------------- pag. 6
Aportes
En La Teoría Moderna ------------------------------ pag. 9
Definición
de Numero Complejo ---------------------------- pag.
10
Conclusión
-------------------------------------------------- pag. 12
INTRUDUCCIÓN
Variable Compleja
Se pude definir como La teoría de las funciones de variable compleja (x^2+a=0 )
donde interviene los números complejos que son
una extensión de los números reales
y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado.
Todo número complejo puede representarse
como la suma de un número real
y un número imaginario, se
utilizan en la física, mecánica cuántica, y en
ingeniería,
especialmente en la electrónica
y las telecomunicaciones
Inicializamos este documento
con la historia de la variable compleja de cómo fue desarrollándose métodos
para poder logra el entendimiento y el uso adecuado de la variable compleja,
desglosando datos importantes y
enfocando los aportes q hicieron varios matematematicos y científicos que fueron
actores importantes para conocer las
propiedades y beneficios que conllevan el uso de la variable.
, .
Historia
Usualmente y por lo general se
dice que los números complejos se originan de la necesidad de resolver la ecuación cuadrática x2+1 = 0
con la dificultad de que no tiene un sentido geométrico, el que un cuadrado
tenga un área negativa, Muchas ecuaciones cuadráticas, como círculos o
parábolas, están ya sobrentendidas en la geometría de los griegos, pero cuando
aparecían ecuaciones con numero o variables complejas esto confundía a
cualquier matemático entonces se analizó si tenían o no una solución real, por
ejemplo, la intersección de una recta de cualquier sistema o figuras a
analizar.
Los números complejos se empiezan
a utilizar para obtener soluciones de ecuaciones algebraicas y culminan de cierta
forma con ecuaciones que antes no se podían realizar o que se realizaban pero
sin la certeza de q la respuesta fuera correcta, en este sentido culmino con
años de confusión y discusión con varios matemáticos, cuando se demuestra el
teorema fundamental del álgebra.
Al principio de su historia los números complejos
fueron considerados como números imposibles aceptados únicamente en un restringido
dominio algebraico porque parecían útiles para resolver ecuaciones. Cobraron
significado cuando se interpretaron geométricamente y no obstante la variable
compleja ha servido para la unificación de las funciones algebraicas con las
transformaciones conformes, teoría del potencial y otros imposibles campos como
las geometrías no euclídeas.
Primeros
Aportes
Bombelli en 1572 trabajó formalmente con el álgebra
de los números complejos e implícitamente introdujo las funciones complejas,
aunque a pesar de ello los números complejos todavía eran considerados como
imposibles. A finales del siglo XVIII ya se tenía una gran maestría en la
manipulación de los números complejos y sin embargo no se tenía la noción de un
número complejo como un par de números reales formado por su parte real y su
parte imaginaria. C.
Wessel, en 1 799 en el artículo Sur La
Représentation Analytique D’une Direction, asoció todo número complejo con un
vector del plano con origen en 0, y
reinterpretó con estos vectores las operaciones elementales de los números
complejos.
R. Argand en 1806 en “Essai Sur Une Manière De Représenter Les Quantités
Imaginaires” interpréta géométriquemente los numéros complejos. El número
i, por ejemplo, lo representó como una rotación de un ángulo recto alrededor
del origen. A partir de dicha interpretación ya empezaron a
usarse sin dificultades dichos números.
Teoría
Moderna y Sus Fundadores
La teoría moderna de las funciones de variable
compleja ha tenido cuatro fundadores los cuales son: Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1 866) y Karl
Weierstrass (1815-1897).
Weierstrass y Su Trabajo Con Variable Compleja
La
motivación principal de Weierstrass fue el estudio de las funciones elípticas y
abelianas, y desde este punto de vista profundizó en la teoría de las funciones
de variable compleja. Hizo una presentación rigurosa de la teoría,
independiente de toda referencia a la
intuición geométrica. Sus primeros trabajos, que datan de 1 840 a 1 842, se publicaron
por primera vez en 1 894, por lo que fueron ignorados por sus contemporáneos.
Conoció el desarrollo en serie de Laurent; introdujo la noción de convergencia
uniforme y emostró, utilizando el método de los mayorantes, el teorema sobre
las soluciones analíticas de un sistema de ecuaciones diferenciales mediante el
desarrollo en serie; esbozó la teoría de la
prolongación analítica y el estudio de los puntos
singulares. Weierstrass se hizo célebre cuando en 1 854 publica su memoria
“Sobre la teoría de funciones abelianas”.
Entre 1 857 y 1 887 elaboró cuidadosamente su
edificio matemático, donde partiendo de una construcción correcta de los
números reales desembocó en una teoría general de las funciones analíticas, y
en la teoría de las funciones el ípticas y abelianas.
Cauchy y Su Trabajo Con Variable Compleja
Cauchy no utilizó la
representación geométrica hasta 1825 y en su “Cours d’Analyse” continuó
representando a los números complejos como expresiones simbólicas que pueden
ser sometidas a las diversas operaciones del álgebra. Cauchy está muy
relacionado con los más importantes resultados de la época. Estudió con
precisión la convergencia de una serie de potencias resaltando la existencia
del radio de convergencia, y también el problema recíproco, la posibilidad de
desarrollar localmente en serie de potencias una función holomorfa, siendo el
radio de convergencia la distancia del centro a la singularidad más
próxima. Auténtico punto de partida de
las integrales curvilíneas, donde aparece el concepto de variación continua de
las curvas que hoy se conoce por homotopía y el caso en el que la función se “vuelve
infinita” en puntos de un rectángulo de lados paralelos a los ejes. Hasta 1850
Cauchy no consideró otras singularidades que los polos. Introdujo la noción de
residuo en “Sur un nouveau genre de calcul analogue aucalcul
infinitésimal” dando en una nota posterior la fórmula de los residuos
para un rectángulo. En Turín en 1831 publicó una memoria sobre la mecánica
celeste donde desarrolló un método para el estudio de la convergencia de series
y acotación de errores al sustituir la serie por la suma de un número finito de
términos.
Estableció la fórmula integral que lleva el nombre
de “teorema integral de Cauchy” y las desigualdades de Cauchy de las que se
sigue de forma inmediata el teorema de Liouville, esencial en el estudio de las
funciones enteras.
Riemann y Su Trabajo Con Variable Compleja
La
primera publicación de Riemann fue su discurso inaugural “Principios
fundamentales para una teoría general de las funciones de una variable
compleja”. Él mismo indicó que sus demostraciones eran a menudo incompletas, y
únicamente con la construcción de nuevas teorías y entes matemáticos podrían
ser posteriormente rellenadas las lagunas. La primera presentación completa de
estos trabajos de Riemann se debe a H. Weyl que utilizó nociones como variedad
analítica, homología y formas
armónicas. Riemann descubrió nuevas geo metrías que
con una axiomatización
conveniente han llegado a ser el cuadro geométrico
de la Física y la Matemática contemporánea. La idea fundamental de Riemann para
estudiar una función multiforme fue recuperar la uniformidad de la función
desdoblando, tantas veces como fuera
necesario, los valores de la variable. Dijo
entonces: “la función multiforme admite
en cada punto de una superficie que representa así el modo de ramificación, un
único valor determinado, y puede ser vista como una función perfectamente determinada sobre esa
superficie” . Explicó cómo las famil ias de funciones algebraicas y los
períodos de sus integrales están caracterizados por un único invariante
topológico de sus superficies de Riemann, el orden de conexión, definido a
partir de sistemas de curvas. Riemann obtuvo, en su memoria, teoremas de
prolongación para funciones armónicas, el principio del
módulo máximo y el principio de prolongación
analítica. Terminó con una magistral
aplicación del principio de Dirichlet, que dice que: “Dos superficies de
Riemann simplemente conexas pueden siempre ser representadas conformemente una
sobre la otra”.
Aportes
En La Teoría Moderna
Carl
Friedrich Gauss: No ejerció influencia en su tiempo por no haber publicado
nada, y haberse encontrado sus manuscritos mucho tiempo después de su muerte.
Cada uno de los otros tres matemáticos siguió un camino diferente.
Augustin
Cauchy: Impuso algunas condiciones restrictivas para que dichas funciones
tengan derivadas continuas. Su teoría reposa sobre un teorema muy importante
relativo a las integrales complejas y sobre la noción de residuo. Esta teoría
contiene en germen los planteamientos geométricos de Riemann y los aritméticos
de Weierstrass.
Bernhard Riemann: La imagen geométrica jugó un
papel predominante en Riemann. Una función compleja era para Riemann una ley
por medio de la cual las superficies se pueden transformar y su objetivo fue el
de representar estas transformaciones y analizarlas.
Weierstrass: Se preocupó por el desarrollo en
series de potencias de la función dentro de su círculo de convergencia, que se
puede prolongar mediante la prolongación analítica. Todo resultaba para él como
una consecuencia de la teoría de series y esta teoría estaba establecida sobre
bases sólidas.
Definición
de Numero Complejo
Los números
complejos son una extensión de los números reales y forman el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los
contiene. El conjunto de los números complejos se designa como 
, siendo 
el conjunto
de los reales se cumple que 
. Los números
complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a
diferencia de los reales. Todo número
complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un
múltiplo real de la unidad imaginaria, que se
indica con la letra i), o en forma polar.
, siendo el conjunto
de los reales se cumple que . Los números
complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a
diferencia de los reales. Todo número
complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un
múltiplo real de la unidad imaginaria, que se
indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del
álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como
variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo
entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por
doquier en matemáticas, en muchos campos de la física
(notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería,
especialmente en la electrónica y las
telecominicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en
general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una
propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra
CONCLUSIÓN
Al analizar la historia de la
variable compleja podemos decir que es uno de los milagros de la Matemática. Ya
que nos ayuda a entender y resolver
ecuaciones algebraicas que anteriormente se descartaban y consideraban que los números complejos eran números imposibles
de resolver y que existían pero se
dieron que ayudaban a encontrarle respuesta a varios cuestionamientos.
Bibliografía
·
WW.WIKIPEDIA.ORG
buena informacion gracias!!!!!!
ResponderEliminar