Historia de la Variable Compleja

Este documento contiene informacion sobre la historia de la variable compleja, los aportes que hicieron varios matematicos y datos importantes.



Universidad Mesoamericana
6to. Semestre
Ingeniería en Electrónica



                                             Historia de la Variable Compleja






Luis Ignacio Girón Monterroso
Ingeniero Walter Quijivix
6 de octubre de 2013

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Historia de la Variable Compleja
Al principio de su historia los números complejos fueron considerados como
“números imposibles” tolerados únicamente en un limitado dominio algebraico porque parecían útiles para resolver ecuaciones. Cobraron significado cuando se interpretaron geométricamente y no obstante la variable compleja ha servido para la unificación de las funciones algebraicas con las transformaciones conformes, teoría del potencial y otros imposibles campos como las geometrías no euclídeas.

Los números complejos se empiezan a utilizar para obtener soluciones de
ecuaciones algebraicas y culminan, en este sentido, cuando se demuestra el
teorema fundamental del álgebra.

Usualmente se dice que los números complejos nacen de la necesidad de resolver la ecuación cuadrática x2+1 = 0 con la dificultad de que carece de sentido geométrico el que un cuadrado tenga un área negativa, Muchas ecuaciones cuadráticas, como círculos o parábolas, están ya implícitas en la geometría de los griegos y entonces se analizó si tenían o no solución real, por ejemplo, la intersección de una recta con dichas figuras.
Bombelli en 1572 trabajó formalmente con el álgebra de los números complejos e implícitamente introdujo las funciones complejas, aunque a pesar de ello los números complejos todavía eran considerados como imposibles.

Al final del siglo XVIII ya se tenía una gran maestría en la manipulación de los números complejos y sin embargo no se tenía la noción de un número complejo como un par de números reales formado por su parte real y su parte imaginaria. C. Wessel, en 1 799, en el artículo “Sur la représentation analytique d’une direction” asoció todo número complejo con un vector del plano con origen en O, y reinterpretó con estos vectores las operaciones elementales de los números complejos. R. Argand en 1 806 en “Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires” interpretó geométricamente los números complejos. El número i, por ejemplo, lo representó como una rotación de un
ángulo recto alrededor del origen. A patir de dicha interpretación ya empezaron a usarse sin dificultades dichos números.

La teoría moderna de las funciones de variable compleja ha tenido cuatro fundadores: Carl Friedrich Gauss 1777-1855, Augustin Louis Cauchy 1789-1857, Bernhard Riemann 1826-1 866 y Karl Weierstrass 1815-1897.
El primero no ejerció influencia en su tiempo por no haber publicado nada, y haberse encontrado sus manuscritos mucho tiempo después de su muerte. Cada uno de los otros tres matemáticos siguió un camino diferente.

Cauchy impuso algunas condiciones restrictivas para que dichas funciones tengan derivadas continuas. Su teoría reposa sobre un teorema muy importante relativo a las integrales complejas y sobre la noción de residuo. Esta teoría contiene en germen los planteamientos geométricos de Riemann y los aritméticos de Weierstrass. La imagen geométrica jugó un papel predominante en Riemann. Una función compleja era para Riemann una ley por medio de la cual las superficies se pueden transformar y su objetivo fue el de representar estas transformaciones y analizarlas. Weierstrass se preocupó por el desarrollo en series de potencias de la función dentro de su círculo de convergencia, que se puede prolongar mediante la prolongación analítica. Todo resultaba para él como una consecuencia de la teoría de series y esta teoría estaba establecida sobre bases sólidas.

Los primeros desarrollos en serie de las funciones elementales aparecieron en el siglo XVII. Taylor utilizó las fórmulas de interpolación de Gregory - Newton para tener en 1712 la fórmula que lleva su nombre y obtener el desarrollo en serie de potencias de una función, cuyas propiedades se probaron por procedimientos algebraicos; se pueden utilizar las técnicas de derivación e integración de manera formal en el anillo de las series consideradas, todavía, sin preocupaciones de convergencia. Los analistas se habituaron así, a lo largo del siglo XVIII a manipular indiferentemente argumentos reales y complejos no sólo en expresiones racionales sino incluso en la función exponencial o en las unciones trigonométricas. De Moivre, a principios del siglo, gracias a una utilización sistemática de las fórmulas de la trigonometría, resaltó la relación entre las raíces de un número complejo y la división de la circunferencia en partes igual es. En la
primera mitad del siglo se utilizaron fórmulas notables entre las funciones elementales.
Cauchy y la Variable Compleja

Cauchy no utilizó la representación geométrica hasta 1825 y en su “Cours d’Analyse” continuó representando a los números complejos como “expresiones simbólicas” que pueden ser sometidas a las diversas operaciones del álgebra. Cauchy está muy relacionado con los más importantes resultados de la época. Estudió con precisión la convergencia de una serie de potencias resaltando la existencia del radio de convergencia, y también el problema recíproco, la posibilidad de desarrollar localmente en serie de potencias una función holomorfa, siendo el radio de convergencia la distancia del centro a la singularidad más próxima. auténtico punto de partida de las integrales curvilíneas, donde aparece el concepto de variación continua de las curvas que hoy se conoce por homotopía y el caso en el que la función se “vuelve infinita” en puntos de un rectángulo de lados paralelos a los ejes. Hasta 1850 Cauchy no consideró otras singularidades que los polos. Introdujo la noción de residuo en “Sur un nouveau genre de calcul analogue aucalcul infinitésimal” dando en una nota posterior la fórmula de los residuos para un rectángulo. En Turín en 1 831 publicó una memoria sobre la mecánica celeste donde desarrolló un método para el estudio de la convergencia de series y acotación de errores al sustituir la serie por la suma de un número finito de términos.
Estableció la fórmula integral que lleva el nombre de “teorema integral de Cauchy” y las desigualdades de Cauchy de las que se sigue de forma inmediata el teorema de Liouville, esencial en el estudio de las funciones enteras.

Riemann y la variable compleja
La primera publicación de Riemann fue su discurso inaugural “Principios fundamentales para una teoría general de las funciones de una variable compleja”. Él mismo indicó que sus demostraciones eran a menudo incompletas, y únicamente con la construcción de nuevas teorías y entes matemáticos podrían
ser posteriormente rellenadas las lagunas. La primera presentación completa de estos trabajos de
Riemann se debe a H. Weyl que utilizó nociones como variedad analítica, homología y formas
armónicas. Riemann descubrió nuevas geo metrías que con una axiomatización
conveniente han llegado a ser el cuadro geométrico de la Física y la Matemática contemporánea. La idea fundamental de Riemann para estudiar una función multiforme fue recuperar la uniformidad de la función desdoblando, tantas veces como fuera
necesario, los valores de la variable. Dijo entonces: “la función multiforme admite en cada punto de una superficie que representa así el modo de ramificación, un único valor determinado, y puede ser vista como una función perfectamente determinada sobre esa superficie” . Explicó cómo las famil ias de funciones algebraicas y los períodos de sus integrales están caracterizados por un único invariante topológico de sus superficies de Riemann, el orden de conexión, definido a partir de sistemas de curvas. Riemann obtuvo, en su memoria, teoremas de prolongación para funciones armónicas, el principio del
módulo máximo y el principio de prolongación analítica. Terminó con una magistral aplicación del principio de Dirichlet, que dice que: “Dos superficies de Riemann simplemente conexas pueden siempre ser representadas conformemente una sobre la otra”.

Weierstrass y la variable compleja
La motivación principal de Weierstrass fue el estudio de las funciones elípticas y abelianas, y desde este punto de vista profundizó en la teoría de las funciones de variable compleja. Hizo una presentación rigurosa de la teoría, independiente de toda referencia a la intuición geométrica. Sus primeros trabajos, que datan de 1 840 a 1 842, se publicaron por primera vez en 1 894, por lo que fueron ignorados por sus contemporáneos. Conoció el desarrollo en serie de Laurent; introdujo la noción de convergencia uniforme y emostró, utilizando el método de los mayorantes, el teorema sobre las soluciones analíticas de un
sistema de ecuaciones diferenciales mediante el desarrollo en serie; esbozó la teoría de la
prolongación analítica y el estudio de los puntos singulares. Weierstrass se hizo célebre cuando en 1 854 publica su memoria “Sobre la teoría de funciones abelianas”.
Entre 1 857 y 1 887 elaboró cuidadosamente su edificio matemático, donde partiendo de una construcción correcta de los números reales desembocó en una teoría general de las funciones analíticas, y en la teoría de las funciones el ípticas y abelianas.









Conclusión
A la conclusión q pude llegar es que tuvieron q pasar varios matemáticos para poder fundar la teoría de las funciones de la variable compleja aunque al principio consideraban q los números complejos eran números imposibles pero no obstante se dieron cuenta de que iban a ser útiles al momento de resolver ecuaciones algebraicas y ayudaron a demostrar el teorema fundamental del algebra.
Una de las cosas que me llamo la atención fue de que antes de 1825 el matemático cauchy representaba a los números complejos con expresiones simbólicas que pueden ser sometidas a varias operaciones del algebra.





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